Zusammenfassung und Formeln | Kapitel 11+12

Tensoren Allgemein

Tensoren sind eine Verallgemeinerung von bereits bekannten Objekten der linearen Algebra wie Skalaren, Vektoren und Matrizen. Einer der wesentlichen Vorteile von Vektoren besteht darin, dass beim Rechnen mit Tensoren unabhängig vom gewählten Koordinatensystem gleiche Ergebnisse herauskommen.

Es gibt Tensoren unterschiedlicher Stufe:

Wobei ein Tensor 0. Stufe ein Skalar ist, ein Tensor 1. Stufe entspricht einem Vektor und ein Tensor 2. Stufe ist eine Matrix. Tensoren höhere Stufe sind wenig anschaulich und kommen in der einfachen Anwendung der Tensorrechnung so wie wir sie hier machen in der Regel auch nicht vor.

Rechenoperationen mit Tensoren

Dyadisches Produkt

Das dyadische Produkt c zweier Vektoren und berechnet sie wie folgt:

Für einen dreistufigen Tensors 1. Stufe gilt:

Gradient eines Tensors

wobei beispielhaft gilt:

Rotation eines Tensors

Für zwei 3×3-Matrizen und  gilt:

Divergenz eines Tensors

Vektorprodukt zweier Vektoren

Skalarprodukt

Tensorprodukt

Entspricht einer gewöhnlichen Matrizenmultiplikation von A und B.

Inverse einer 2×2-Matrix:

Die Inverse einer 2×2-Matrix berechnet sich zu: